Autokorrelation Funktions Glidande Medelvärde Process

2 1 Flytta genomsnittliga modeller MA modeller. Tidsseriemodeller som kallas ARIMA-modeller kan innefatta autoregressiva termer och eller glidande medelvärden. I vecka 1 lärde vi oss en autoregressiv term i en tidsseriemodell för variabeln. Xt är ett fördröjt värde av xt Till exempel , En lag 1-autoregressiv term är x t-1 multiplicerad med en koefficient Denna lektion definierar glidande medelvärden. En glidande medelfrist i en tidsseriemodell är ett tidigare fel multiplicerat med en koefficient. Låt wt överskridas N 0, sigma 2w, vilket betyder Att vikten är identiskt, oberoende distribuerad, var och en med en normal fördelning med medelvärde 0 och samma varians. Den 1 st ordningsrörande genomsnittsmodellen betecknad med MA 1 är. Xt mu wt theta1w. Den 2: a beställer rörlig genomsnittsmodell, betecknad med MA 2 är. Xt mu wt theta1w theta2. Den q-ordningsrörelserna medellägesmodellen, betecknad med MA q är. Xt mu wt theta1w theta2w prickar thetaqw. Note Många läroböcker och programvara definierar modellen med negativa tecken före villkoren. Detta förändrar inte de allmänna teoretiska egenskaperna hos modellen, även om den vrider de algebraiska tecknen på uppskattade koefficientvärden och oskydda termer i Formler för ACF och avvikelser Du måste kontrollera din programvara för att verifiera om negativa eller positiva tecken har använts för att korrekt skriva den beräknade modellen R använder positiva tecken i sin underliggande modell, som vi gör här. De teoretiska egenskaperna hos en tidsserie med En MA 1-modell. Notera att det enda nonzero-värdet i teoretiskt ACF är för lag 1 Alla andra autokorrelationer är 0 Således är ett sampel ACF med en signifikant autokorrelation endast vid lag 1 en indikator på en möjlig MA 1-modell. För intresserade studenter, Bevis på dessa egenskaper är en bilaga till denna handout. Exempel 1 Antag att en MA 1-modell är xt 10 wt 7 w t-1 där wt överför N 0,1 Således koefficienten 1 0 7 Th E teoretisk ACF ges av. En plot av denna ACF följer. Den plott som just visas är den teoretiska ACF för en MA 1 med 1 0 7 I praktiken har ett prov som vunnits t ge ett så tydligt mönster. Med hjälp av R simulerade vi n 100 Provvärden med hjälp av modellen xt 10 wt 7 w t-1 där w t. iid N 0,1 För denna simulering följer en tidsserieplot av provdata. Vi kan inte berätta mycket från denna plot. Provet ACF för den simulerade Data följer Vi ser en spik vid lag 1 följt av allmänt icke signifikanta värden för lags över 1 Observera att provet ACF inte matchar det teoretiska mönstret för den underliggande MA 1, vilket är att alla autokorrelationer för lags över 1 kommer att vara 0 A Olika prov skulle ha ett något annorlunda prov ACF som visas nedan, men skulle troligen ha samma breda egenskaper. Deoretiska egenskaperna hos en tids serie med en MA 2-modell. För MA 2-modellen är de teoretiska egenskaperna följande. Notera att den enda nonzero Värden i teoretisk ACF är för lags 1 och 2 autocorrelat Joner för högre lags är 0 Så, ett ACF-prov med signifikanta autokorrelationer vid lags 1 och 2, men icke-signifikanta autokorrelationer för högre lags indikerar en möjlig MA 2-modell. N 0,1 Koefficienterna är 1 0 5 och 2 0 3 Eftersom detta är en MA 2, kommer den teoretiska ACF endast att ha nonzero-värden endast vid lags 1 och 2.Values ​​av de två icke-oberoende autokorrelationerna är. En plot av den teoretiska ACF följer. Som nästan alltid är fallet, samplingsdata som vunnit t uppträder ganska Så perfekt som teori Vi simulerade n 150 provvärden för modellen xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 var w t. iid N 0,1 Tidsseriens plot av data följer Som med tidsseriens plot för MA 1-provdata kan du inte berätta mycket för. Provet ACF för den simulerade data följer Mönstret är typiskt för situationer där en MA 2-modell kan vara användbar. Det finns två statistiskt signifikanta spikar vid lags 1 och 2 följt av icke - - värda värden för andra lags Observera att på grund av provtagningsfel stämde provet ACF inte Det teoretiska mönstret exactly. ACF för General MA q Models. A egenskap av MA q modeller i allmänhet är att det finns icke-oberoende autokorrelationer för de första q lagsna och autokorrelationerna 0 för alla lags q. Non-unikhet av samband mellan värdena på 1 och rho1 I MA 1-modell. I MA 1-modellen, för vilket värde som helst av 1, ger den ömsesidiga 1 1 samma värde. För exempel, använd 0 5 för 1 och använd sedan 1 0 5 2 för 1 Du får rho1 0 4 I båda fallen. För att tillfredsställa en teoretisk begränsning som kallas invertibilitet begränsar vi MA1-modellerna till att ha värden med absolutvärdet mindre än 1 I exemplet just givet är 1 0 5 ett tillåtet parametervärde medan 1 1 0 5 2 inte kommer att. Invertibility av MA modeller. En MA-modell sägs vara omvändbar om den är algebraiskt ekvivalent med en konvergerande oändlig ordning AR-modell. Genom konvertering menar vi att AR-koefficienterna minskar till 0 när vi flyttar tillbaka i tiden. Invertibility är en begränsning programmerad till Tidsserie programvara som används för att uppskatta coeff Modeller av modeller med MA-termer Det är inte något som vi söker efter i dataanalysen Ytterligare information om invertibilitetsbegränsningen för MA 1-modeller finns i bilagan. Avancerad teorinotering För en MA q-modell med en specificerad ACF finns det endast En omvänd modell Den nödvändiga förutsättningen för inverterbarhet är att koefficienterna har värden så att ekvationen 1- 1 y - qyq 0 har lösningar för y som faller utanför enhetens cirkel. R Kod för exemplen. I exempel 1 ritade vi Teoretisk ACF av modellen xt 10 wt 7w t-1 och sedan simulerade n 150 värden från denna modell och ritade provtidsserierna och provet ACF för de simulerade data R-kommandona som användes för att plotta den teoretiska ACF var. acfma1 ARMAacf ma c 0 7, 10 lags av ACF för MA 1 med theta1 0 7 lags 0 10 skapar en variabel som heter lags som sträcker sig från 0 till 10 plot lags, acfma1, xlim c 1,10, ylab r, typ h, huvud ACF för MA 1 Med theta1 0 7 abline h 0 lägger en horisontell axel till plot. Th E första kommandot bestämmer ACF och lagrar det i ett objekt med namnet acfma1 vårt val av namn. Plot-kommandot 3: e kommandotyperna lags mot ACF-värdena för lags 1 till 10 ylab-parametern markerar y-axeln och huvudparametern sätter en Titel på plottet. För att se de numeriska värdena för ACF använder du bara kommandot acfma1. Simuleringen och diagrammen gjordes med följande kommandon. Lista ma c 0 7 Simulerar n 150 värden från MA 1 x xc 10 lägger till 10 för att göra medelvärdet 10 Simuleringsstandard betyder 0 diagram x, typ b, huvud Simulerat MA 1 data acf x, xlim c 1,10, huvud ACF för simulerade Provdata. I exempel 2 ritade vi den teoretiska ACF av modellen xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 och simulerade sedan n 150 värden från denna modell och ritade provtidsserierna och provet ACF för den simulerade Data R-kommandona som användes var. acfma2 ARMAacf ma c 0 5,0 3, acfma2 lags 0 10 plot lags, acfma2, xlim c 1,10, ylab r, typ h, huvud ACF för MA2 med theta1 O5, theta2 O 3 abline h 0 lista ma c 0 5, 0 3 x xc 10 plot x, typ b, huvud Simulerad MA 2-serie acf x, xlim c 1,10, huvud ACF för simulerade MA 2 Data. Appendix Bevis av egenskaper hos MA 1 . För intresserade studenter är här bevis på teoretiska egenskaper hos MA 1-modellen. Variantext xt text mu wt theta1 w 0 text wt text theta1w sigma 2w theta 21 sigma 2w 1 theta 21 sigma 2When h 1, föregående uttryck 1 W 2 För någon h 2 , Det föregående uttrycket 0 Anledningen är att, enligt definitionen av oberoende av Wt E wkwj 0 för någon kj vidare, eftersom wt har medelvärdet 0, E wjwj E wj 2 w 2.For en tidsserie. Använd detta resultat för att få ACF ges ovan. En inverterbar MA-modell är en som kan skrivas som en oändlig ordning AR-modell som konvergerar så att AR-koefficienterna konvergerar till 0 när vi rör sig oändligt tillbaka i tiden. Vi ska visa omvändlighet för MA 1-modellen. Vi då Substitutionsförhållande 2 för w t-1 i ekvation 1. 3 zt wt theta1 z-theta1w wt theta1z-theta 2w. At tiden t-2 ekvation 2 blir. Vi ersätter sedan förhållandet 4 för w t-2 i ekvation 3. zt wt Theta1 z - theta 21w wt theta1z - theta 21 z - theta1w wt theta1z - theta1 2z theta 31.Om vi ​​skulle fortsätta oändligt, skulle vi få oändlig ordning AR - modellen. Zt wt theta1 z - theta 21z theta 31z - theta 41z prickar. Observera att om 1 1 kommer koefficienterna som multiplicerar lagren av z ökar oändligt i storlek när vi flyttar tillbaka i tiden. För att förhindra detta behöver vi 1 1 Detta är Villkoret för en inverterbar MA 1-modell. Infinite Order MA-modellen. I vecka 3 ser vi att en AR 1-modell kan konverteras till en oändlig MA-modell. Xt - mu wt phi1w phi 21w prickar phi k1 w prickar summa phi j1w. Denna summering av tidigare vita ljudvillkor är känd som kausalrepresentation av en AR 1 Med andra ord är xt en speciell typ MA med ett oändligt antal termer Går tillbaka i tid Detta kallas ett oändligt order MA eller MA En ändlig ordning MA är en oändlig ordning AR och någon ändlös ordning AR är en oändlig ordning MA. Recall i vecka 1 noterade vi att ett krav på en stationär AR 1 är att 1 1 Låt oss beräkna Var xt med hjälp av kausalrepresentationen. Det här sista steget använder ett grundläggande faktum om geometriska serier som kräver phi1 1 annars serierna avviker. Kontrollera Kontrollera Randomness. Autocorrelation plots Box och Jenkins, sid 28-32 är en vanlig - Använt verktyg för kontroll av slumpmässighet i en dataset Denna slumpmässighet bestäms genom att beräkna autokorrelationer för datavärden vid olika tidsfördröjningar. Om slumpmässigt borde sådana autokorrelationer vara nära noll för alla tidsfördröjningar. Om inte slumpmässigt, så är en eller flera av Autokorrelationen Ns kommer att vara signifikant icke-zero. In addition autocorrelation tomter används i modellen identifieringssteget för Box-Jenkins autoregressiva, rörliga genomsnittliga tidsserier models. Autocorrelation är bara ett mått på slumpmässighet. Notera att okorrelerade inte nödvändigtvis betyder slumpmässig Data som Har signifikant autokorrelation inte slumpmässigt. Data som inte visar signifikant autokorrelation kan dock uppvisa icke-slumpmässighet på andra sätt. Autokorrelation är bara ett mått på slumpmässighet. I samband med modellvalidering som är den primära typen av slumpmässighet vi dikterar i Handboken, Kontroll av autokorrelation är vanligtvis ett tillräckligt slumpmässigt test eftersom resterna från en dålig monteringsmodell tenderar att visa icke-subtil slumpmässighet. Men vissa applikationer kräver en mer noggrann bestämning av slumpmässighet. I dessa fall är ett testbatteri, vilket kan innefatta kontroll av Autokorrelation, tillämpas eftersom data kan vara icke-slumpmässiga i många olika och ofta subtila Sätt. Ett exempel på var en mer noggrann kontroll för slumpmässighet behövs skulle vara i testning av slumptalsgeneratorer. Provplott Autokorrelationer bör vara nära noll för slumpmässighet. Sådan är inte fallet i detta exempel och således slumpmässigt antagandet misslyckas. Detta provautokorrelation Plot visar att tidsserierna inte är slumpmässiga, men har snarare en hög grad av autokorrelation mellan intilliggande och närliggande intilliggande observationer. Definitionen rh mot h. Autocorrelation plots bildas av. Autocorrelationskoefficienten för vevaxel. Där Ch är autokovariansfunktionen. Och C 0 är variansfunktionen. Notera att R h är mellan -1 och 1. Notera att vissa källor kan använda följande formel för autokovariansfunktionen. Fastän denna definition har mindre förspänning har formuleringen 1 N några önskvärda statistiska egenskaper och Är den form som brukar användas i statistiklitteraturen Se sidorna 20 och 49-50 i Chatfield för detaljer. Horisontell axel Tidslagsvisning hh 1, 2, 3. Ovanstående linje gäller också Innehåller flera horisontella referenslinjer Mellanlinjen är vid noll De övriga fyra linjerna är 95 och 99 konfidensband Observera att det finns två distinkta formler för att generera förtroendeband. Om autokorrelationsplanen används för att testa för slumpmässighet, det är ingen tid Beroende av data rekommenderas följande formel. Där N är provstorleken, z är den kumulativa fördelningsfunktionen för normal normalfördelning och alfa är signifikansnivån. I detta fall har konfidensbanden en fast bredd som beror på provet Storlek Detta är den formel som användes för att generera förtroendeband i ovanstående plot. Utföringsplottor används också i modellidentifieringssteget för montering av ARIMA-modeller. I detta fall antas en rörlig genomsnittsmodell för data och följande förtroendeband Ska genereras. Där k är lagret, N är provstorleken, z är den kumulativa fördelningsfunktionen för normal normalfördelning och alfa är Signifikansnivån I detta fall ökar konfidensbandet när fördröjningen ökar. Autokorrelationsdiagrammet kan ge svar på följande frågor. Uppgifterna är slumpmässiga. En observation relaterad till en intilliggande observation. Det är en observation som är relaterad till en observation två gånger Borttagen etc. Is den observerade tidsserien white noise. Is observerade tidsserie sinusoidal. Is observerade tidsserier autoregressive. What är en lämplig modell för observerade tidsserier. Är modellen. valid och tillräcklig. Är formeln ss sqrt giltig. Importance Säkerställ giltighet av engineering conclusions. Randomness tillsammans med fast modell, fast variation och fast distribution är ett av de fyra antaganden som typiskt ligger till grund för alla mätprocesser. Slumpmässigt antagande är avgörande för följande tre skäl. De flesta standard statistiska tester är beroende av Slumpmässighet Giltigheten av test slutsatserna är direkt kopplad till giltigheten av slumpmässiga antagandet. Mycket vanligt - Använda statistiska formler beror på slumpmässigt antagande, den vanligaste formeln är formeln för att bestämma standardavvikelsen för provmedlet. Där s är standardavvikelsen för data. Även om det är tungt använd, är resultaten från att använda denna formel av inget värde om inte Slumpmässiga antagandet håller. För univariata data är standardmodellen. Om data inte är slumpmässiga är denna modell felaktig och ogiltig, och uppskattningarna för parametrarna som konstanten blir oanständiga och ogiltiga. Kort sagt, om analytiker gör Inte kontrollera efter slumpmässighet, då blir giltigheten för många av de statistiska slutsatserna misstänkt. Autocorrelation plot är ett utmärkt sätt att kolla på sådan slumpmässighet. Utvecklingsprocesser. I den här artikeln är definitionen, egenskaperna och tillämpningarna av linjära autoregressiva processer eller autotegressioner Granskas Dessa utgör en viktig delmängd av klassen av autoregressiva rörliga genomsnittliga ARMA-processer som används allmänt som stat Joniska modeller för tidsseriedata Särskild uppmärksamhet ägnas åt problemet med att välja och uppskatta lämpliga autoregressioner för att beskriva empiriskt observerade tidsserier WIREs Comp Stat 2011 3 316 331 DOI 10 1002 wics 163. Wolfer s årliga solspotnummer, 1749 1924. Spektraldensiteten Av Yule s autoregressiva modell för sunspot-serien, 1749 1924, diskuterad i exempel 3. Autokorrelationsfunktionen vänster och partiell autokorrelationsfunktion höger om Yule s-modellen i Eq. 1 för sunspot-serien, 1749 1924, ritad för lags 0 40 år.